微分積分例

$y = t \ln^{2} (4 t)$

ステップ 1

括弧を削除します。

$y = t \ln^{2} (4 t)$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (4 t))$

ステップ 3

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (t) = t$ および $g (t) = \ln^{2} (4 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (4 t)] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \ln (4 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (4 t)$ とします。

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (4 t)$ で置き換えます。

$t (2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.3

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 t$ とします。

$t (2 \ln (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.3.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4

微分します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{1}{4 t}$ と $2$ をまとめます。

$t (\frac{2}{4 t} \ln (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$\frac{2}{4 t}$ と $\ln (4 t)$ をまとめます。

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.2.1

$2$ を $2 \ln (4 t)$ で因数分解します。

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1

$2$ を $4 t$ で因数分解します。

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$t (\frac{\ln (4 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.3

$\frac{\ln (4 t)}{2 t}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.4

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{\ln (4 t)}{2} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.4.1

$4$ と $\frac{\ln (4 t)}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 \ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.2.1

$2$ を $4 \ln (4 t)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \ln (4 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4.2.2.4

$2 \ln (4 t)$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \ln (4 t) \cdot 1 + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \cdot 1$

ステップ 4.4.8

式を簡約します。

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ステップ 4.4.8.1

$\ln^{2} (4 t)$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t)$

ステップ 4.4.8.2

項を並べ替えます。

$\ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

微分積分 例

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