微分積分例

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

ステップ 4

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

ステップ 6

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 6.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 6.2

$u = - 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

ステップ 6.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 6.4

$u = - 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 2 t$

ステップ 6.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

ステップ 6.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

ステップ 12

$e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$t$ および $0$ で $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

ステップ 13.2

$- 2 t$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.3

$0$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.5

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

ステップ 13.3.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

ステップ 13.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

ステップ 13.3.8

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

ステップ 13.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 13.3.9.1

$\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

ステップ 13.3.9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

ステップ 13.3.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

ステップ 13.3.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$- 1$ を $- 2 t e^{- 2 t}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

ステップ 14.2

$- 1$ を $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

ステップ 14.3

$- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ を $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

ステップ 14.4

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

ステップ 15

極限を求めます。

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ステップ 15.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

ステップ 15.2

$\frac{1}{4}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

ステップ 15.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.4

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.5

$t e^{- 2 t}$ を $\frac{t}{e^{2 t}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 15.6.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 15.6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.1.3

指数 $2 t$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{2 t}$ が $\infty$ に近づきます。

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

ステップ 15.6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 15.6.3.1

分母と分子を微分します。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 15.6.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t$ とします。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.6.3.7

$2$ を $e^{2 t}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.7

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{2 t}}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.9

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.10

指数 $- 2 t$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 2 t}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 15.11

極限を求めます。

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ステップ 15.11.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 15.11.2

答えを簡約します。

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ステップ 15.11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.11.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 15.11.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

ステップ 15.11.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

ステップ 15.11.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 15.11.2.4

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 15.11.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4})$

ステップ 15.11.2.4.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

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