微分積分例

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

ステップ 1

括弧を削除します。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

ステップ 2

括弧を削除します。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

ステップ 3

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

ステップ 3.2

$- 3$ を $\sqrt{y}$ の左に移動させます。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

ステップ 3.4

$\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt{y}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sqrt{y}}{3}$ と $y$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

ステップ 3.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$3$ を $- 3 \sqrt{y}$ で因数分解します。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

ステップ 4

$f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数が $[1, 9]$ で連続か求めるために、 $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt{y}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$y \geq 0$

ステップ 4.1.2

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \geq 0}$

ステップ 4.2

$f (y)$ は $[1, 9]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

$f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.2

指数を足して $y^{\frac{1}{2}}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.3

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.4

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.8.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.9

$\frac{3}{2}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.10

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.11

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.12

$3$ を $3 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.13.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 5.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.1.3.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.1.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 5.1.1.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5.1.1.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 5.1.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 5.1.1.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 5.1.1.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 5.1.1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 5.1.1.3.9

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.1.1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.2

$y$ に関する $f (y)$ の一次導関数は $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

微分係数が $[1, 9]$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

関数が $[1, 9]$ で連続か求めるために、 $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2.1.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

ステップ 5.2.1.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

ステップ 5.2.1.1.4

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

ステップ 5.2.1.2

$\sqrt{y}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$y \geq 0$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{y} = 0$

ステップ 5.2.1.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.2.1

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.1

積の法則を $2 y^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 y^{1} = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.2.1.4

簡約します。

$4 y = 0^{2}$

ステップ 5.2.1.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 y = 0$

ステップ 5.2.1.4.3

$4 y = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.3.1

$4 y = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.1.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.1.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.1.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 5.2.1.5

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y > 0}$

ステップ 5.2.2

$f' (y)$ は $[1, 9]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5.3

微分係数が $[1, 9]$ で連続なので、関数は $[1, 9]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[1, 9]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[1, 9]$ 上で連続です。

ステップ 7

$f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

総和則では、 $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.2

指数を足して $y^{\frac{1}{2}}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.3

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.4

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.8.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.9

$\frac{3}{2}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.10

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.11

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.12

$3$ を $3 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.13.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

ステップ 7.3

$\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.3.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 7.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 7.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 7.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 7.3.9

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 7.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ を利用してます。

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例