微分積分例

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

ステップ 1

$f (y) = - 1$ および $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2

$f (y) = 2 x + y$ および $g (y) = x + 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.5

$x + 2 y$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.6

総和則では、 $x + 2 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ です。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.7

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.8

$0$ と $\frac{d}{d y} [2 y]$ をたし算します。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.9

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.12

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.13

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

ステップ 3.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

$\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

ステップ 3.14.2

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2 y$ から $2 y$ を引きます。

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$x - 2 (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$x$ から $4 x$ を引きます。

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例