微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.5.3

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13

簡約します。

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ステップ 1.3.13.1

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.3

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 1.3.13.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.4

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.13.4.1

$\cos (x) (- \sin (x))$ と $\sin (x) \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.4.2

$- \cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.4.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.13.5.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.13.5.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.13.5.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13.6

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

ステップ 1.4

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (2 \cdot 0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\cos (0)$

ステップ 4.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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