微分積分例

$\frac{x}{e^{x}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 1.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 1.2.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 1.4.2

$e^{x}$ を $- e^{x} x + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

$e^{x}$ を $- e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 1.4.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

ステップ 1.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

ステップ 1.4.3

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

ステップ 1.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 1.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 1.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

ステップ 1.4.3.2.4

$e^{- x} (- x + 1)$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} (- x + 1)$

ステップ 1.4.4

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 1.4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

ステップ 1.4.6

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

ステップ 1.4.7

$- e^{- x} x + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x e^{- x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.4.2.3

$- e^{- x}$ から $e^{- x}$ を引きます。

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.4

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

微分積分 例

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