微分積分例

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

ステップ 1.1.3

$x^{\frac{1}{3}}$ を $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

ステップ 1.1.3.2

$1$ を掛けます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

ステップ 1.1.3.3

$x^{\frac{1}{3}}$ を $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

ステップ 1.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

ステップ 1.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{3}}$ をかけます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

ステップ 1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

ステップ 1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

ステップ 1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

ステップ 1.3.4

$3$ から $1$ を引きます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

ステップ 2

$x^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.3

$- \frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.4.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.6.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.7

$- 3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.7.2.2

共通因数を約分します。

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.7.2.3

式を書き換えます。

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 4.8

$x^{- \frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- \frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $3 x^{\frac{1}{3}}$ です。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

ステップ 9

簡約します。

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例