微分積分例

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

ステップ 1

$- 4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

ステップ 2

$x$ が $- \frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

ステップ 3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

ステップ 4

$x$ が $- \frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

ステップ 5

$x$ が $- \frac{π}{3}$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

ステップ 6

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

ステップ 7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

ステップ 8

すべての $x$ に $- \frac{π}{3}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $- \frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

ステップ 8.2

$x$ を $- \frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

ステップ 9.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

ステップ 9.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

ステップ 9.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

ステップ 9.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

ステップ 9.2.4

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

ステップ 9.2.5

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

ステップ 9.2.6

$- 8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

ステップ 9.2.7

公分母の分子をまとめます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

ステップ 9.2.8

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.8.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

ステップ 9.2.8.2

$- 16$ と $5$ をたし算します。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

ステップ 9.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

ステップ 9.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

ステップ 9.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

共通因数を約分します。

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

ステップ 9.5.2

式を書き換えます。

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

ステップ 9.6

$\sqrt{3}$ と $\frac{1}{11}$ をまとめます。

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

ステップ 9.7

$- 4$ と $\frac{\sqrt{3}}{11}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

ステップ 9.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

10進法形式：

$- 0.62983665 \dots$

微分積分 例

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