微分積分例

$\int x \ln^{2} (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln^{2} (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln^{2} (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ を $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ に書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x^{2}$ と $\frac{2 \ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

ステップ 5.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x$ を $x^{2} (2 \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

ステップ 5.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 5.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 5.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

ステップ 5.2.2.5

$x (2 \ln (x))$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 7.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 7.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 7.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 8

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 9.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 9.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 9.4

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

ステップ 9.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 9.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 9.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

ステップ 12.2

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ を $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ に書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 12.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.3.2

$- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 12.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 12.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 12.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 12.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 12.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

ステップ 12.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.3.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

ステップ 12.4.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

ステップ 12.4.3.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

ステップ 12.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

ステップ 12.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.4.2

$- - \frac{x^{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.4.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.5

$- \ln (x) x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.6

$- \ln (x) x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.8.1

$x^{2}$ を $- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.8.1.1

$x^{2}$ を $- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.8.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.8.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.9

$- 1$ を $- 2 \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.11

$- 1$ を $- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.12

$- (2 \ln (x) - 1)$ を $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ に書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 12.4.13

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 12.5

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$

微分積分 例

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