微分積分例

$y = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 4.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 4.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.9

$e^{x}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.11

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4.12

まとめる。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.13

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.14

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.14.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.14.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.15

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.17

式を簡約します。

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ステップ 4.17.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.17.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.18

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.18.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.18.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.19

簡約します。

$\frac{e^{x} - 2 x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.20

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

ステップ 4.21

簡約します。

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ステップ 4.21.1

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 e^{x} x + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.2

$e^{x}$ を $- 2 e^{x} x + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.21.2.1

$e^{x}$ を $- 2 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- 2 x + 1)}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.3

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- 2 x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.4

共通因数を約分します。

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ステップ 4.21.4.1

$e^{2 x}$ を $2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.21.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.21.4.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- 2 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.5

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (2 x) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.7

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.8

$- (2 x - 1)$ を $- 1 (2 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- 1 (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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