微分積分例

$\int \frac{1}{x^{2} e^{\frac{1}{x}}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = \frac{1}{x}$ とします。次に $d u_{1} = - \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $- d u_{1} = \frac{1}{x^{2}} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$e^{u_{1}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$- \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$- \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

ステップ 4.2.1.3

$- 1 u_{1}$ を $- u_{1}$ に書き換えます。

$- \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 4.2.2

$e^{- u_{1}}$ に $1$ をかけます。

$- \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 5

$u_{2} = - u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = - d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = - u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

ステップ 5.1.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- u_{1}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{u_{2}} + C$

ステップ 9

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 9.1

$u_{2}$ のすべての発生を $- u_{1}$ で置き換えます。

$e^{- u_{1}} + C$

ステップ 9.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

微分積分 例

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