微分積分例

$y = x^{4} + 3 e^{x}$ , $(0, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 3 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 x^{3} + 3 e^{x}$

ステップ 1.3

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$4 {(0)}^{3} + 3 e^{0}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 + 3 e^{0}$

ステップ 1.4.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + 3 e^{0}$

ステップ 1.4.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 3 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3$

ステップ 1.4.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 2

法線は接線に垂直な直線です。接線の傾きの負の逆数をとり、法線の傾きを求めます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{1}{3}$ と与えられた点 $(0, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = - \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 3 = - \frac{1}{3} \cdot x$

ステップ 3.3.1.2

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x}{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - \frac{x}{3} + 3$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{3} x) + 3$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

ステップ 4

微分積分 例

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