微分積分例

$y = \sec (x)$

ステップ 1

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.3

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 2.3.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 2.5

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

ステップ 2.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

ステップ 2.9

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\sec (x) \tan (x) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

ステップ 5

$\sec (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sec (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (x) = 0$

ステップ 5.2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 6.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 7

最終解は $\sec (x) \tan (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, π$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\tan^{2} (0) \sec (0) + \sec^{3} (0)$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0^{2} \sec (0) + \sec^{3} (0)$

ステップ 9.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 \sec (0) + \sec^{3} (0)$

ステップ 9.1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)$

ステップ 9.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + \sec^{3} (0)$

ステップ 9.1.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 1^{3}$

ステップ 9.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$0 + 1$

ステップ 9.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sec (0)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\tan^{2} (π) \sec (π) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

${(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

${(- 0)}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 \sec (π) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 (- \sec (0)) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.6

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 (- 1 \cdot 1) + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.7

$0 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 13.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 \cdot - 1 + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.7.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + \sec^{3} (π)$

ステップ 13.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 + {(- \sec (0))}^{3}$

ステップ 13.1.9

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

ステップ 13.1.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 13.1.11

$- 1$ を $3$ 乗します。

$0 - 1$

ステップ 13.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 14

$x = π$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極大値です

ステップ 15

$x = π$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = \sec (π)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = - \sec (0)$

ステップ 15.2.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = - 1 \cdot 1$

ステップ 15.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = - 1$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 16

$f (x) = \sec (x)$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

$(π, - 1)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例