微分積分例

$y = x^{x^{2}}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

ステップ 2

$x^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x^{2}})$ を展開します。

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} \ln (x)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 3.2.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

ステップ 5.3

指数を足して $x$ に $x^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$x^{x^{2}}$ を移動させます。

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

ステップ 5.3.2

$x^{x^{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

ステップ 5.4

$x$ に $x^{x^{2}}$ をかけます。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

ステップ 5.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$

微分積分 例

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