微分積分例

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = y + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$y + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $y + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.5

$y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に ${(y + 3)}^{2}$ を掛けます。

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${(y + 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

ステップ 5.2.1.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

ステップ 5.2.1.2.2

$y$ を移動させます。

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2

$- 1 y'$ を $- y'$ に書き換えます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

ステップ 5.3.3

$y' {(y + 3)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

${(y + 3)}^{2}$ を $(y + 3) (y + 3)$ に書き換えます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

ステップ 5.3.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 3) (y + 3)$ を展開します。

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ステップ 5.3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

ステップ 5.3.3.2.3

分配則を当てはめます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

ステップ 5.3.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

ステップ 5.3.3.3.1.2

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

ステップ 5.3.3.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

ステップ 5.3.3.3.2

$3 y$ と $3 y$ をたし算します。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

ステップ 5.3.3.4

分配則を当てはめます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

ステップ 5.3.3.5.2

$9$ を $y'$ の左に移動させます。

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

ステップ 5.3.4

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

ステップ 5.3.5

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.3.5.1

方程式の両辺に $y' x$ を足します。

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

ステップ 5.3.5.2

方程式の両辺から $2 y'$ を引きます。

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

ステップ 5.3.5.3

$9 y'$ から $2 y'$ を引きます。

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

ステップ 5.3.6

$y'$ を $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.6.1

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

ステップ 5.3.6.2

$y'$ を $6 y' y$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

ステップ 5.3.6.3

$y'$ を $y' x$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

ステップ 5.3.6.4

$y'$ を $7 y'$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

ステップ 5.3.6.5

$y'$ を $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ で因数分解します。

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

ステップ 5.3.6.6

$y'$ を $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ で因数分解します。

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

ステップ 5.3.6.7

$y'$ を $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ で因数分解します。

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

ステップ 5.3.7

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ の各項を $y^{2} + 6 y + x + 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.7.1

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ の各項を $y^{2} + 6 y + x + 7$ で割ります。

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

ステップ 5.3.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.1

$y^{2} + 6 y + x + 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

ステップ 5.3.7.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

ステップ 5.3.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.7.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

微分積分 例

微分積分例