微分積分例

$f (x) = 2 \cos (\frac{x}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (\frac{x}{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$2 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$\frac{- 2}{2}$ と $\sin (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$2$ を $- 2 \sin (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3.2.4

$- \sin (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \sin (\frac{x}{2})$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (\frac{x}{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$- (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3.3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3.3.2.2

$\sin (\frac{x}{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

ステップ 3.3.6

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ です。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

微分積分 例

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