微分積分例

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $a x^{2} + b x + c$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ です。

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$x^{2}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x^{2}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ です。

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 1.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$b x$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $b x$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 1.3.2

$c$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} + 0 + 0$

ステップ 1.4

項をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} + 0$

ステップ 1.4.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2}$

ステップ 2

$x^{2}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (a) = 0$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $a x^{2} + b x + c$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ です。

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$x^{2}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x^{2}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ です。

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 4.1.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$b x$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $b x$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

ステップ 4.1.3.2

$c$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} + 0 + 0$

ステップ 4.1.4

項をまとめます。

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ステップ 4.1.4.1

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (a) = x^{2}$

ステップ 4.2

$a$ に関する $f (a)$ の一次導関数は $x^{2}$ です。

$x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

値を求める臨界点です。

$a = 0$

ステップ 7

$a = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$0$

ステップ 8

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例