微分積分例

$f (x) = \frac{a}{b x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{a}{b}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{a}{b x^{2}}$ の微分係数は $\frac{a}{b} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{a}{b} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{a}{b} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{a}{b} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a}{b} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 1.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{a}{b} (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$- 2$ と $\frac{a}{b}$ をまとめます。

$\frac{- 2 a}{b} x^{- 3}$

ステップ 1.4.2

$\frac{- 2 a}{b}$ と $x^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 a x^{- 3}}{b}$

ステップ 1.4.3

式を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 2 a}{b x^{3}}$

ステップ 1.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 a}{b x^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- \frac{2 a}{b}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 a}{b x^{3}}$ の微分係数は $- \frac{2 a}{b} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- \frac{2 a}{b} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{2 a}{b} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 a}{b} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2 a}{b} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 2.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 a}{b} (- 3 x^{- 4})$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{2 a}{b} x^{- 4}$

ステップ 2.4.2

$3$ と $\frac{2 a}{b}$ をまとめます。

$\frac{3 (2 a)}{b} x^{- 4}$

ステップ 2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 a}{b} x^{- 4}$

ステップ 2.4.4

$\frac{6 a}{b}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{6 a x^{- 4}}{b}$

ステップ 2.4.5

式を簡約します。

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ステップ 2.4.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{6 a}{b x^{4}}$

ステップ 2.4.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{6 a}{x^{4} b}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{6 a}{x^{4} b}$ です。

$\frac{6 a}{x^{4} b}$

微分積分 例

微分積分例