微分積分例

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{x}{3}$ と ${(2 x + 1)}^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 4.8

${(2 x + 1)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.2

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.3

$6$ と $\frac{x}{3}$ をまとめます。

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.4

$\frac{6 x}{3}$ と ${(2 x + 1)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.5

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

$3$ を $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.5.2.4

$2 x {(2 x + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.6

${(2 x + 1)}^{2}$ を $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

ステップ 5.6.2

${(2 x + 1)}^{2}$ を $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.6.3

${(2 x + 1)}^{2}$ を ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ で因数分解します。

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.7

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.8

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 5.8.1

分配則を当てはめます。

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.8.2

分配則を当てはめます。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.8.3

分配則を当てはめます。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.9.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.9.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1.2.1

$x$ を移動させます。

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.9.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

ステップ 5.10

各項を簡約します。

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ステップ 5.10.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.10.2

$\frac{1}{3} (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 5.10.2.1

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.10.2.2

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.10.3

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 5.11

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 5.12

$2 x$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 5.13

公分母の分子をまとめます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 5.14

公分母の分子をまとめます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

ステップ 5.15

$3$ に $2$ をかけます。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

ステップ 5.16

$6 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.17

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.18

簡約します。

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ステップ 5.18.1

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.18.1.1

$4$ と $\frac{8 x + 1}{3}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.18.1.2

$x^{2}$ と $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.18.2

$4 x \frac{8 x + 1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.18.2.1

$4$ と $\frac{8 x + 1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.18.2.2

$x$ と $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.18.3

$\frac{8 x + 1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

ステップ 5.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20

各項を簡約します。

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ステップ 5.20.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.20.5.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.20.5.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.5.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.20.5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.5.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.5.2

$4$ に $8$ をかけます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.7

分配則を当てはめます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.9

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.20.10.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.20.10.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.10.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.20.10.2

$4$ に $8$ をかけます。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.21

$4 x^{2}$ と $32 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

ステップ 5.22

$4 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$

微分積分 例

微分積分例