微分積分例

$x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ , $1 \leq y \leq 3$

ステップ 1

$f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

関数が $[1, 3]$ で連続か求めるために、 $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{4 y^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 y^{2} = 0$

ステップ 1.1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4 y^{2} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$4 y^{2} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.1.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.1.2.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.1.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$y^{2} = 0$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.1.2.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 0$

ステップ 1.1.2.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 1.1.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 0}$

ステップ 1.2

$f (y)$ は $[1, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{8}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{4}}{8}$ の微分係数は $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{4}{8}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.1

$4$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{4 y^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.1.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 2.1.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 2.1.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 2.1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

ステップ 2.1.1.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

ステップ 2.1.1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

ステップ 2.1.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

ステップ 2.1.1.3.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

ステップ 2.1.1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

ステップ 2.1.1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

ステップ 2.1.1.3.10

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

ステップ 2.1.1.3.11

$\frac{- 2}{4}$ と $y^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

ステップ 2.1.1.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

ステップ 2.1.1.3.13

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.13.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

ステップ 2.1.1.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.13.2.1

$2$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

ステップ 2.1.1.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

ステップ 2.1.1.3.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

ステップ 2.1.1.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

ステップ 2.1.2

$y$ に関する $f (y)$ の一次導関数は $\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ です。

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

ステップ 2.2

微分係数が $[1, 3]$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

関数が $[1, 3]$ で連続か求めるために、 $f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\frac{1}{2 y^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 y^{3} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$2 y^{3} = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.1

$2 y^{3} = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.1.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.1.2.1.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.1.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$y^{3} = 0$

ステップ 2.2.1.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.2.1.2.3

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.3.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.2.1.2.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 0$

ステップ 2.2.1.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 0}$

ステップ 2.2.2

$f' (y)$ は $[1, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[1, 3]$ で連続なので、関数は $[1, 3]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[1, 3]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[1, 3]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{8}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{4}}{8}$ の微分係数は $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.3

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.4

$\frac{4}{8}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.5

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$4$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{4 y^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 4.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 4.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 4.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

ステップ 4.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

ステップ 4.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

ステップ 4.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

ステップ 4.3.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

ステップ 4.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

ステップ 4.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

ステップ 4.3.10

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

ステップ 4.3.11

$\frac{- 2}{4}$ と $y^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

ステップ 4.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

ステップ 4.3.13

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

ステップ 4.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.2.1

$2$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

ステップ 4.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

ステップ 4.3.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

ステップ 4.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ を利用してます。

$\int_{1}^{3} \sqrt{1 + {(\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}})}^{2}} d y$

ステップ 6

積分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1)}{y^{3}} d y$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y$

ステップ 6.2.2

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{3 \cdot - 1} d y$

ステップ 6.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3

$(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2} + 1) + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1) y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.7

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2})) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.8

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.9

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2})) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.10

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.11

$y^{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.12

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2 + 4} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.14

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6 - 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.16

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.17

負をくくり出します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{2} y^{2}) y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{2 + 2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.19

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.20

負をくくり出します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{4} y^{- 3}) + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4 - 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.22

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{1} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.23

簡約します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.24

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2 - 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.26

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.27

$y^{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.28

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4 - 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.29

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{1} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.30

簡約します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.31

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.32

負をくくり出します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - (y^{2} y^{- 3}) + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.33

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2 - 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.34

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.35

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.36

$y^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.37

$y^{- 1}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.38

$- y$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y - y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.39

$y$ から $y$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.40

$y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.41

$y^{- 1}$ から $y^{- 1}$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 3} d y$

ステップ 6.3.42

$y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 3} d y$

ステップ 6.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} y^{3} d y + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

ステップ 6.5

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

ステップ 6.6

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3})$

ステップ 6.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3}$ と $- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

ステップ 6.7.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$3$ および $1$ で $\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.1

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.2

$\frac{1}{4}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.5

$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{9 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.6

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.7

$\frac{81}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.8

$- \frac{1}{18}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.9.1

$\frac{81}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.9.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.9.3

$\frac{1}{18}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{18 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.9.4

$18$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.11.1

$81$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{729 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.11.2

$729$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.12

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.13

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

ステップ 6.7.2.2.14

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

ステップ 6.7.2.2.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}))$

ステップ 6.7.2.2.16

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

ステップ 6.7.2.2.17

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.17.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}))$

ステップ 6.7.2.2.17.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{4}))$

ステップ 6.7.2.2.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{1 - 2}{4})$

ステップ 6.7.2.2.19

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{- 1}{4})$

ステップ 6.7.2.2.20

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - - \frac{1}{4})$

ステップ 6.7.2.2.21

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + 1 (\frac{1}{4}))$

ステップ 6.7.2.2.22

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4})$

ステップ 6.7.2.2.23

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9})$

ステップ 6.7.2.2.24

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.24.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9})$

ステップ 6.7.2.2.24.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{36})$

ステップ 6.7.2.2.25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{727 + 9}{36}$

ステップ 6.7.2.2.26

$727$ と $9$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{736}{36}$

ステップ 6.7.2.2.27

$736$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.27.1

$4$ を $736$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (184)}{36}$

ステップ 6.7.2.2.27.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.27.2.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

ステップ 6.7.2.2.27.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

ステップ 6.7.2.2.27.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{184}{9}$

ステップ 6.7.2.2.28

$\frac{1}{2}$ に $\frac{184}{9}$ をかけます。

$\frac{184}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.7.2.2.29

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{184}{18}$

ステップ 6.7.2.2.30

$184$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.30.1

$2$ を $184$ で因数分解します。

$\frac{2 (92)}{18}$

ステップ 6.7.2.2.30.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.2.30.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.7.2.2.30.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.7.2.2.30.2.3

式を書き換えます。

$\frac{92}{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{92}{9}$

10進法形式：

$10.\overline{2}$

帯分数形：

$10 \frac{2}{9}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例