微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.4.2

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 1.1.3.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.5

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.8.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

ステップ 1.3.8.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

ステップ 1.3.8.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

ステップ 1.3.8.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

ステップ 1.3.8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

ステップ 1.3.8.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

ステップ 1.3.8.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

ステップ 1.3.8.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + 2 \sin (2 x)}$

ステップ 1.3.9

$0$ と $2 \sin (2 x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{2 \sin (2 x)}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.4

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.5

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.6.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.7.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.7.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.7.1.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.2.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 3.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 3.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sec^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.5

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.6

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.3.9

$\sec^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$\sec^{2} (x)$ と $\sec^{2} (x)$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.4

$2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.3.4.1

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.4.2

$x$ と $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.7

まとめる。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.8

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.3.8.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.3.8.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.9

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.10

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.5.3.12

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

ステップ 3.3.10

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos^{3} (x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.4.2.2

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.4.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{\cos (2 x)}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.10

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\cos^{3} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.11

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 4.12

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 4.13

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.2

まとめる。

$\frac{1 \frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 \frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 \frac{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.3.3

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.3.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 \frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.3.6

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \frac{2}{1^{3}}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 (\frac{2}{1})}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.5

$\frac{2}{1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 6.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (0)}$

ステップ 6.6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.7

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.8

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{4}$

ステップ 6.9

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4}$

ステップ 6.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例