微分積分例

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sec (t)$ とします。次に $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3 \tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$3 \tan (t)$ を ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.1.2

$3 \tan (t)$ を $3 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 2.2.1.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 2.2.1.4

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ と $\sec^{2} (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$1$ を掛けます。

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$\sec (t)$ を $9 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

ステップ 5

分数を分解します。

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

ステップ 6

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

ステップ 7

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (t)}$ で割ります。

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

$\cos (t)$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

ステップ 8.2

$\frac{1}{9}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

ステップ 9

$\frac{1}{9}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

ステップ 10

$\cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\sin (t)$ です。

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

ステップ 12

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$

微分積分 例

微分積分例