微分積分例

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

ステップ 1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$i$ を $i - i^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

ステップ 1.1.2

$i$ を $i^{1}$ で因数分解します。

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

ステップ 1.1.3

$i$ を $- i^{2}$ で因数分解します。

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

ステップ 1.1.4

$i$ を $i \cdot 1 + i (- i)$ で因数分解します。

$\frac{i (1 - i)}{3}$

ステップ 1.2

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

ステップ 2

総和を分割し、 $i$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{i - i^{2}}{3}$

ステップ 3.1.2

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

ステップ 3.2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

ステップ 3.3

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和から因数 $\frac{1}{3}$ をくくり出します。

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

ステップ 3.3.2

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.3.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

ステップ 3.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$10$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

ステップ 3.3.4.1.2

$10$ に $11$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

ステップ 3.3.4.1.3

$110$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot 55$

ステップ 3.3.4.2

$\frac{1}{3}$ と $55$ をまとめます。

$\frac{55}{3}$

ステップ 3.4

$\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和から因数 $- \frac{1}{3}$ をくくり出します。

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

ステップ 3.4.2

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.4.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

ステップ 3.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

$10$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

ステップ 3.4.4.1.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.2.1

$10$ に $11$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

ステップ 3.4.4.1.2.2

$2$ に $10$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

ステップ 3.4.4.1.3

$20$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

ステップ 3.4.4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$110$ に $21$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

ステップ 3.4.4.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

ステップ 3.4.4.2.2.2

$3$ を $2310$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

ステップ 3.4.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

ステップ 3.4.4.2.2.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{770}{6})$

ステップ 3.4.4.2.3

$770$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.3.1

$2$ を $770$ で因数分解します。

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

ステップ 3.4.4.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.4.2.3.2.3

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{385}{3})$

ステップ 3.4.4.2.4

$- 1 (\frac{385}{3})$ を $- (\frac{385}{3})$ に書き換えます。

$- \frac{385}{3}$

ステップ 3.5

合計した結果を足します。

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{55 - 385}{3}$

ステップ 3.6.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$55$ から $385$ を引きます。

$\frac{- 330}{3}$

ステップ 3.6.2.2

$- 330$ を $3$ で割ります。

$- 110$

ステップ 4

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{i - i^{2}}{3}$

ステップ 4.1.2

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

ステップ 4.2

$i$ の各値の級数を展開します。

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

ステップ 4.3.2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

ステップ 4.3.2.6

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

ステップ 4.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

ステップ 4.3.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

ステップ 4.3.5

$2$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

ステップ 4.3.6

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1 - 9}{3}$

ステップ 4.3.7

$1$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 8}{3}$

ステップ 4.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3}$

ステップ 5

総和を求めた値で置換します。

$- 110 + \frac{8}{3}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 110$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

ステップ 6.2

$- 110$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$- 110$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 330 + 8}{3}$

ステップ 6.4.2

$- 330$ と $8$ をたし算します。

$\frac{- 322}{3}$

ステップ 6.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{322}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{322}{3}$

10進法形式：

$- 107.\overline{3}$

帯分数形：

$- 107 \frac{1}{3}$

微分積分 例

微分積分例