微分積分例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} - x$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x} - x) (\sqrt{x} + x)}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{1} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

ステップ 3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2.2.4

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

ステップ 4.2.2.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

ステップ 4.2.2.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{1}{x}} + 1}$

ステップ 5

$x$ が $\infty$ に近づくとき、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$

ステップ 6

分子が有界でなく、分母が定数に近づくので、分数 $\frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$ は負の無限大に近づきます。

$- \infty$

微分積分 例

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