微分積分例

$\frac{e^{x} - 1}{x}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x} - 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (e^{x} + 0) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1)}{x^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} - e^{x} - - 1}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - e^{x} + 1}{x^{2}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 5.4

$\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{x} + 1 - e^{x}}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例