微分積分例

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} (1 - 2 x) d x$

ステップ 1

$x^{\frac{1}{3}} (1 - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) d x$

ステップ 1.2

$x^{\frac{1}{3}}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int_{2}^{4} 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) d x$

ステップ 1.3

$x^{\frac{1}{3}}$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\int_{2}^{4} 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} x d x$

ステップ 1.4

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} x d x$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) d x$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3} + 1} d x$

ステップ 1.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} d x$

ステップ 1.8

公分母の分子をまとめます。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1 + 3}{3}} d x$

ステップ 1.9

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{2}^{4} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 \int_{2}^{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{2}^{4})$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{3}{7}$ と $x^{\frac{7}{3}}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{2}^{4})$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$4$ および $2$ で $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$(\frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{2}^{4})$

ステップ 6.2.2

$4$ および $2$ で $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ の値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{3}{4}$ と $4^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $4^{1}$ を分子に移動させます。

$3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3

指数を足して $4^{\frac{4}{3}}$ に $4^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.1

$4^{- 1}$ を移動させます。

$3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.3.6.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.4

$2^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.5

$3$ を $2^{\frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

ステップ 6.2.3.6

$- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.3.7

$- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot 4}{4}$

ステップ 6.2.3.9

$4$ に $- 2$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 8 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

ステップ 6.3.1.1.2

$- 8 \frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

$- 8$ と $\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 (3 \cdot 4^{\frac{7}{3}})}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$3$ に $- 8$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

ステップ 6.3.1.1.3

$- 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.3.1

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + 8 \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.3.2

$8$ と $\frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}$ をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{8 (3 \cdot 2^{\frac{7}{3}})}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.5

$- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.6

$- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7 + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.8

公分母の分子をまとめます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7 + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.1.9

$7$ に $- 3$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

ステップ 6.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 6.3.1.3

$\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

$\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4}$

ステップ 6.3.1.3.2

$7$ に $4$ をかけます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

ステップ 6.3.2

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{28}{28}$ を掛けます。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{28}{28} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

ステップ 6.3.3

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{28}{28}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 28}{28} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

ステップ 6.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 28 - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

ステップ 6.3.5

$28$ に $3$ をかけます。

$\frac{84 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{84 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

10進法形式：

$- 14.57802067 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例