微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

ステップ 1

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (θ)$ を $- 1 + \sec^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 4

$\tan (θ)$ の微分係数が $\sec^{2} (θ)$ なので、 $\sec^{2} (θ)$ の積分は $\tan (θ)$ です。

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ と $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ をまとめます。

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- θ + \tan (θ)$ の値を求めます。

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

ステップ 5.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $\tan (0)$ をたし算します。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

ステップ 5.3.3

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

ステップ 6

$\tan (\frac{π}{2})$ の厳密値は $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{π}{2}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

ステップ 6.2

角の和の公式を当てはめます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

ステップ 6.3

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

ステップ 6.4

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

ステップ 6.5

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

ステップ 6.6

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

ステップ 6.7

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 6.7.1.1.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 6.7.1.1.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

ステップ 6.7.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

ステップ 6.7.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

ステップ 6.7.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

ステップ 6.7.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

ステップ 6.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

ステップ 6.7.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

ステップ 6.7.1.2.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

ステップ 6.7.1.2.5

指数を求めます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

ステップ 6.7.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

ステップ 6.7.1.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

ステップ 6.7.2

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

ステップ 6.7.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

ステップ 6.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

ステップ 7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

微分積分 例

微分積分例