微分積分例

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (x + 2)}{x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} - 3 (x + 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$- 3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 3 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 2}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- 3 (lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 (lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 (- 2 + 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 3 \cdot 0}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4 x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4 x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4}$

ステップ 1.1.3.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 4}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 4 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 4}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2 + 4}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 + 4 \cdot - 2 + 4}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 8 + 4}$

ステップ 1.1.3.6.2

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{- 4 + 4}$

ステップ 1.1.3.6.3

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (x + 2)}{x^{2} + 4 x + 4} = lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 (x + 2)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x + 2]$ です。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

ステップ 1.3.8

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.10

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.10.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.10.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.10.3

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.11

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 + 0}$

ステップ 1.3.12

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4}$

ステップ 2

分子が負で、分母 $2 x + 4$ が0に近づき、左側の $- 2$ に近い $x$ について0より小さいので、関数は境界なく増加します。

$\infty$

微分積分 例

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