微分積分例

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{5} \sqrt{9 x^{2} - 1}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{1}{3} \sec (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ は正であることに注意します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{\sec (t)}{3})}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sec (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{3^{2}} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.4

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{\sec (t)}{3})}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

積の法則を $\frac{\sec (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{3^{5}} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$3$ を $5$ 乗します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{243} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2.2.2

$\frac{\sec^{5} (t)}{243}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2.2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}$ で割ります。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2.2.4

$\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ に $1$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2.2.5

$\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ に $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 (\sec (t) \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t) \cdot 3} d t$

ステップ 2.2.2.2.6

$3$ を $\sec^{5} (t) \tan (t)$ の左に移動させます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 \sec (t) \tan (t)}{3 \cdot (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.2.2.7

$243$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.7.1

$3$ を $243 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 \sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.7.2.1

$3$ を $3 \sec^{5} (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \sec (t) \tan (t)}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.2.2.8

$\sec (t)$ と $\sec^{5} (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.8.1

$\sec (t)$ を $81 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.2.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.8.2.1

$\sec (t)$ を $\sec^{5} (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

ステップ 2.2.2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.2.2.9

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.9.1

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.2.2.9.2

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81}{\sec^{4} (t)} d t$

ステップ 3

$81$ は $t$ に対して定数なので、 $81$ を積分の外に移動させます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{4} (t)} d t$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{\cos (t)})}^{4}} d t$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (t)}$ に当てはめます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (t)}} d t$

ステップ 4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1}{\cos^{4} (t)}} d t$

ステップ 5

分子に分母の逆数を掛けます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \cos^{4} (t) d t$

ステップ 6

くくりだして簡約します。

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ステップ 6.1

$\cos^{4} (t)$ に $1$ をかけます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{4} (t) d t$

ステップ 6.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

ステップ 6.3

${\cos (t)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

ステップ 7

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

ステップ 8

$u_{1} = 2 t$ とします。次に $d u_{1} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{1} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u_{1} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 8.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

ステップ 8.4

$u_{1} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

ステップ 8.5

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 8.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$81 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$81 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

ステップ 10.2

$\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ を積として書き換えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

ステップ 10.3

${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ を展開します。

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ステップ 10.3.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 10.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 10.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.6

分配則を当てはめます。

ステップ 10.3.7

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.8

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.9

$\frac{1}{2}$ を移動させます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.10

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.11

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.12

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.13

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 10.3.14

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.15

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.16

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.17

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.18

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.19

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.20

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.21

$\frac{1}{4}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.22

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.23

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.24

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.25

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.26

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.27

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.28

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.3.29

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.30

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.31

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.32

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.33

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.34

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ と $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ をたし算します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.35

$2$ と $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.36

$\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ と $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.3.37

$\frac{1}{4}$ と $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ を並べ替えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 10.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$2$ を $2 \cos (u_{1})$ で因数分解します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

ステップ 10.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 10.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 10.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 11

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{81}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 12

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 13

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 15.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 16

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 17

定数の法則を当てはめます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 18

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 18.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 18.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 18.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 18.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 18.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 18.3.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = π$

ステップ 18.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 18.5

$2 \frac{2 π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.5.1

$2$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 (2 π)}{3}$

ステップ 18.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

ステップ 18.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

ステップ 18.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 19

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 20

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 21

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 22

$\frac{1}{2}$ と $\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 23

定数の法則を当てはめます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 24

$\frac{1}{4}$ と $u_{1}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 25

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 26

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2})$

ステップ 27.2

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27.3

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2 + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27.5

$2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27.6

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.6.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 27.6.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 27.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 28

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.1

$\frac{2 π}{3}$ および $\frac{π}{2}$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 28.2

$\frac{4 π}{3}$ および $π$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 28.3

$\frac{2 π}{3}$ および $\frac{π}{2}$ で $\sin (u_{1})$ の値を求めます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 28.4

$\frac{2 π}{3}$ および $\frac{π}{2}$ で $\frac{u_{1}}{4}$ の値を求めます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.1

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.2

$- \frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.3.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.3.3

$\frac{π}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.3.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2 - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - 3 π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.7

$4 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.8

$\frac{\frac{2 π}{3}}{4}$ を積として書き換えます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.9

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.10

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.11

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.11.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 (π)}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.11.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

ステップ 28.5.12

$\frac{\frac{π}{2}}{4}$ を積として書き換えます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}))$

ステップ 28.5.13

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{2 \cdot 4})$

ステップ 28.5.14

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{8})$

ステップ 28.5.15

$\frac{π}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8})$

ステップ 28.5.16

$- \frac{π}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 28.5.17

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $24$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.5.17.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 28.5.17.2

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 28.5.17.3

$\frac{π}{8}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{8 \cdot 3})$

ステップ 28.5.17.4

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{24})$

ステップ 28.5.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{24})$

ステップ 28.5.19

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{24})$

ステップ 28.5.20

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 π - 3 π}{24})$

ステップ 28.5.21

$4 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 29

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 29.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) + 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.4

$\sin (\frac{4 π}{3})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.5.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.5.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.5.3

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.5.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.5.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.6

分配則を当てはめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.7

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.7.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{4 \cdot 6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.7.2

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.8

$\frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{\sqrt{3}}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.9.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.3

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.9.1.4.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{2 \cdot 8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.6

$\frac{π}{24}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.7

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $48$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.9.1.8.1

$\frac{π}{24}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{24 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.8.2

$24$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.8.3

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{16 \cdot 3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.8.4

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.10

$\sqrt{3} \cdot 8$ の因数を並べ替えます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.11

$- \sqrt{3}$ と $8 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.9.1.12.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot π + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.12.2

$3$ に $7$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{48}{48}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1 \cdot \frac{48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.14

$- 1$ と $\frac{48}{48}$ をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} + \frac{- 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.1.16

$- 1$ に $48$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.3

$\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.9.3.1

$\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48 \cdot 2} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.9.3.2

$48$ に $2$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24})$

ステップ 30.10

$\frac{π}{24}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24} \cdot \frac{4}{4})$

ステップ 30.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $96$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.11.1

$\frac{π}{24}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{24 \cdot 4})$

ステップ 30.11.2

$24$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{96})$

ステップ 30.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + π \cdot 4}{96}$

ステップ 30.13

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 \cdot π}{96}$

ステップ 30.14

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.14.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{3 (27)}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{96}$

ステップ 30.14.2

$3$ を $96$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

ステップ 30.14.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

ステップ 30.14.4

式を書き換えます。

$\frac{27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$

ステップ 30.15

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$ をかけます。

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{2 \cdot 32}$

ステップ 30.16

$2$ に $32$ をかけます。

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{64}$

ステップ 30.17

$2 π$ と $4 π$ をたし算します。

$\frac{27 (6 π + 21 \sqrt{3} - 48)}{64}$

ステップ 30.18

分配則を当てはめます。

$\frac{27 (6 π) + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

ステップ 30.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.19.1

$6$ に $27$ をかけます。

$\frac{162 π + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

ステップ 30.19.2

$21$ に $27$ をかけます。

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} + 27 \cdot - 48}{64}$

ステップ 30.19.3

$27$ に $- 48$ をかけます。

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

ステップ 31

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

10進法形式：

$3.04704402 \dots$

ステップ 32

微分積分 例

微分積分例