微分積分例

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{\sqrt{n}}$ に $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{\sqrt{n}}$ に $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.2

$\sqrt{n}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{n}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} {\sqrt{n}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.6

${\sqrt{n}}^{2}$ を $n$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{n}$ を $n^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{n}}{{(n^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.2.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ に $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}})$

ステップ 1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ に $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.4.2

$\sqrt{n + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

ステップ 1.4.3

$\sqrt{n + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

ステップ 1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

ステップ 1.4.6

${\sqrt{n + 1}}^{2}$ を $n + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{n + 1}$ を ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

ステップ 1.4.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

ステップ 2

$\frac{\sqrt{n}}{n}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{n + 1}{n + 1}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

ステップ 3

$- \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{n}{n}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $n (n + 1)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{n}}{n}$ に $\frac{n + 1}{n + 1}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

ステップ 4.2

$\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ に $\frac{n}{n}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{(n + 1) n}$

ステップ 4.3

$(n + 1) n$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{n}$ を $n^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{n + 1}$ を ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.4

指数を足して $n^{\frac{1}{2}}$ に $n$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$n^{\frac{1}{2}}$ に $n$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$n$ を $1$ 乗します。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n^{1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{n^{\frac{1}{2} + 1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{n^{\frac{1 + 2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.5

$n^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

ステップ 6.6

項を並べ替えます。

$\frac{- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7

因数分解した形で $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$n^{\frac{1}{2}}$ を $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

$n^{\frac{1}{2}}$ を $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7.1.2

$n^{\frac{1}{2}}$ を $n^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7.1.3

$1$ を掛けます。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7.1.4

$n^{\frac{1}{2}}$ を $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7.1.5

$n^{\frac{1}{2}}$ を $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}} + 1)}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7.2

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{1} + 1)}{n (n + 1)}$

ステップ 6.7.3

簡約します。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1)}{n (n + 1)}$

ステップ 7

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $n^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n (n + 1) n^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 8

指数を足して $n$ に $n^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$n^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n (n + 1)}$

ステップ 8.2

$n^{- \frac{1}{2}}$ に $n$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$n$ を $1$ 乗します。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n^{1} (n + 1)}$

ステップ 8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + 1} (n + 1)}$

ステップ 8.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (n + 1)}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{- 1 + 2}{2}} (n + 1)}$

ステップ 8.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 9

$- 1$ を $- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 10

$- 1$ を $n$ で因数分解します。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 11

$- 1$ を $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n)$ で因数分解します。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 12

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 13

$- 1$ を $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 14

$- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ を $- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

ステップ 16

総和を書き換えます。

$\sum_{n = 4}^{\infty} - \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

微分積分 例

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