微分積分例

$\int_{0}^{\infty} 9 e^{- 9 x} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 9 e^{- 9 x} d x$

ステップ 2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{t} e^{- 9 x} d x$

ステップ 3

$u = - 9 x$ とします。次に $d u = - 9 d x$ すると、 $- \frac{1}{9} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 9 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 9 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

ステップ 3.1.2

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9$

ステップ 3.2

$u = - 9 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 9 \cdot 0$

ステップ 3.3

$- 9$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u = - 9 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 9 t$

ステップ 3.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 9 t$

ステップ 3.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} \frac{1}{- 9} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} (- \frac{1}{9}) d u$

ステップ 4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} - \frac{e^{u}}{9} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 9 (- \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u)$

ステップ 6

$- 1$ に $9$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - 9 \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - 9 (\frac{1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{9}$ と $- 9$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 9}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

ステップ 8.2

$- 9$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 9 t})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$- 9 t$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 9 t}) - e^{0})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1 \cdot 1)$

ステップ 10.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1)$

ステップ 11

極限を求めます。

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ステップ 11.1

極限を求めます。

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ステップ 11.1.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - 1$

ステップ 11.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 11.2

指数 $- 9 t$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 9 t}$ が $0$ に近づきます。

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 11.3

極限を求めます。

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ステップ 11.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 11.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (0 - 1)$

ステップ 11.3.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- - 1$

ステップ 11.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

微分積分 例

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