微分積分例

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sec (t)$ とします。次に $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.2

${(\tan^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$\tan^{6} (t)$ を ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

$\tan (t)$ を $\tan^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2.1.2

$\tan (t)$ を $\sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.1.3

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.1.4

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\sec (x)$ を $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ に書き換えます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

ステップ 4.2

逆数の公式を当てはめます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 4.3.2

まとめる。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 4.3.3

$\csc (t)$ に $1$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

ステップ 4.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

積の法則を $\frac{1}{\cot (t)}$ に当てはめます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 4.3.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 4.3.5

$\cot (t)$ と $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ をまとめます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 4.3.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ を約分します。

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ステップ 4.3.6.1

$1$ を掛けます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

ステップ 4.3.6.2

$\cot (t)$ を ${\cot (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

ステップ 4.3.6.3

共通因数を約分します。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

ステップ 4.3.6.4

式を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

ステップ 4.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

ステップ 5

$- \csc (t)$ の微分係数が $\csc (t) \cot (t)$ なので、 $\csc (t) \cot (t)$ の積分は $- \csc (t)$ です。

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

ステップ 6

$1.44546849$ および $\frac{π}{3}$ で $- \csc (t)$ の値を求めます。

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

ステップ 7

$\csc (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 8.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 8.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 8.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 8.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.2.6.4.2

式を書き換えます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 8.2.6.5

指数を求めます。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$0.14679527 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例