微分積分例

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.9

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.10

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.12

$4$ と $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.13

$2$ を $4 y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.14.1

$2$ を $2 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

ステップ 6

$y^{\frac{1}{2}}$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

ステップ 6.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ の各項に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ の各項に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2

式を書き換えます。

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

各項にある共通因数 $y^{\frac{1}{2}}$ を求めます。

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

$u$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

ステップ 6.3.3

$u$ について解きます。

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ステップ 6.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1.1

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

ステップ 6.3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

ステップ 6.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

ステップ 6.3.3.1.2

簡約します。

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

ステップ 6.3.3.2

方程式の両辺から $2 y'$ を引きます。

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

ステップ 6.3.3.3

$u$ を $- y' u - 2 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

$u$ を $- y' u$ で因数分解します。

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

ステップ 6.3.3.3.2

$u$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

ステップ 6.3.3.3.3

$u$ を $u (- y') + u \cdot - 2$ で因数分解します。

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

ステップ 6.3.3.4

$u (- y' - 2) = - 2 y'$ の各項を $- y' - 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$u (- y' - 2) = - 2 y'$ の各項を $- y' - 2$ で割ります。

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

ステップ 6.3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.1

$- y' - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

ステップ 6.3.3.4.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

ステップ 6.3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

ステップ 6.3.3.4.3.2

$- 1$ を $- y'$ で因数分解します。

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

ステップ 6.3.3.4.3.3

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

ステップ 6.3.3.4.3.4

$- 1$ を $- y' - 1 (2)$ で因数分解します。

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

ステップ 6.3.3.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.3.5.1

$- (y' + 2)$ を $- 1 (y' + 2)$ に書き換えます。

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

ステップ 6.3.3.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

ステップ 6.3.3.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

ステップ 6.3.3.4.3.5.4

$\frac{2 y'}{y' + 2}$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

ステップ 6.3.4

$y'$ を $u$ に代入します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

微分積分 例

微分積分例