微分積分例

$\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\cos (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 10

$\cos (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 12

$\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 13

まとめる。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 14

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 15

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 15.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x) + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 16

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 18

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 18.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 19

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 19.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x) - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 20

簡約します。

$\frac{\cos (x) - 2 x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 21

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\cos (x) - 2 x (- \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 22

式を簡約します。

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ステップ 22.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) + 2 x \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

ステップ 22.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 x \sin (x) + \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

微分積分 例

微分積分例