微分積分例

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{0}^{t}$ です。

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

ステップ 4

$t$ および $0$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

ステップ 5.2

$t$ が $\infty$ に近づくときの極限は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

ステップ 5.3

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\arctan (0)$ の極限値を求めます。

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

ステップ 5.4

答えを簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} - 0$

ステップ 5.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} + 0$

ステップ 5.4.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{2}$

10進法形式：

$1.57079632 \dots$

微分積分 例