微分積分例

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1

$f (y) = - 1$ および $g (y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2} + y^{2}}] + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2

$f (y) = y$ および $g (y) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2

$x^{2} + y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.4

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ をたし算します。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y \cdot y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 4

$y$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 5

$y$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 7

項を加えて簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 7.2

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 8

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \cdot 0$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0$

ステップ 9.2

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例