微分積分例

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 2]$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 2 x + 2$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 2 d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

ステップ 14

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

ステップ 14.2

$2$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

ステップ 14.3

$2$ および $0$ で $2 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$2$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} + 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.5

$\frac{8}{3}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.6

$3$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.7

$3$ に $8$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{24}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.8

$24$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.8.1

$3$ を $24$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.8.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.8.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.9

$2$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.10

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.10.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.10.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.11

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.12

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.12.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.12.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.12.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.12.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.12.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.13

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 + 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.14

$2$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.15

$- 2$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.16

$8$ から $4$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.17

$2$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 - 2 \cdot 0)$

ステップ 14.4.18

$- 2$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 + 0)$

ステップ 14.4.19

$4$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4)$

ステップ 14.4.20

$4$ と $4$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8)$

ステップ 15

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 8$

ステップ 15.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

ステップ 16

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

ステップ 16.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

ステップ 16.3

式を書き換えます。

$A (x) = 4$

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例