微分積分例

$\int x^{2} \cos (\frac{1}{2} x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \cos (\frac{1}{2} x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (2 \sin (\frac{1}{2} x)) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{1}{2} x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 2 \sin (\frac{x}{2}) (2 x) d x$

ステップ 2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - \int 4 \sin (\frac{x}{2}) x d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - (4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x)$

ステップ 4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 \int \sin (\frac{x}{2}) x d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \sin (\frac{x}{2})$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{1}{2} x)) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{1}{2} x) d x)$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - \int - 2 \cos (\frac{x}{2}) d x)$

ステップ 7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) - (- 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x))$

ステップ 8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (\frac{x}{2}) d x)$

ステップ 9

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u)$

ステップ 10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int \cos (u) \cdot 2 d u)$

ステップ 10.3

$2$ を $\cos (u)$ の左に移動させます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 \int 2 \cos (u) d u)$

ステップ 11

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 2 (2 \int \cos (u) d u))$

ステップ 12

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \int \cos (u) d u)$

ステップ 13

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$

ステップ 14

$x^{2} (2 \sin (\frac{x}{2})) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 (\sin (u) + C))$ を $2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (u)) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (x (- 2 \cos (\frac{x}{2})) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) - 4 (- 2 x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 16.3

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 (x \cos (\frac{x}{2})) - 4 (4 \sin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 16.4

$4$ に $- 4$ をかけます。

$2 x^{2} \sin (\frac{x}{2}) + 8 x \cos (\frac{x}{2}) - 16 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$2 x^{2} \sin (\frac{1}{2} x) + 8 x \cos (\frac{1}{2} x) - 16 \sin (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

微分積分例