微分積分例

$lim_{x \to \infty} 3 - x + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5)}{x + 5} + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

ステップ 1.3

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - x \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

ステップ 1.4

$- x$ と $\frac{x + 5}{x + 5}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5)}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ を移動させます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.4

負をくくり出します。

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{1 + 1} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.2.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.3

$- 5 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.4

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.4.1

$15$ を移動させます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + x^{2} - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.4.2

$- 2 x$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.4.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.5

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.6

$0$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.8.7

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 4 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.2.9

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

ステップ 2.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [- x (x + 5)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x (x + 5)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x (x + 5)]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.3

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \cdot 1 + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.8

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.9

$x + 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.3.10

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [3 (x + 5)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 (x + 5)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x + 5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.4.2

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.4.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.4.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.4.6

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.6.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.7.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7.2.3

$- 5$ と $3$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 2 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7.2.4

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7.2.5

$0$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.7.2.6

$- 2$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 2.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + \frac{d}{d x} [5]}$

ステップ 2.3.10

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + 0}$

ステップ 2.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1}$

ステップ 2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} - 4$

ステップ 3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $- 4$ の極限値を求めます。

$- 4$

微分積分 例

微分積分例