微分積分例

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

ステップ 1

括弧を削除します。

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 4.1.1

${(\ln (x))}^{\ln (x)}$ を $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}]$

ステップ 4.1.2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}]$

ステップ 4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x) \ln (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x) \ln (\ln (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x) \ln (\ln (x))$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 4.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.5

項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{1}{\ln (x)}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.5.2

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.5.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x})$

ステップ 4.8

$\ln (\ln (x))$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x})$

ステップ 4.9

簡約します。

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ステップ 4.9.1

分配則を当てはめます。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

ステップ 4.9.2

項をまとめます。

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ステップ 4.9.2.1

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

ステップ 4.9.2.2

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ と $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

微分積分 例

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