微分積分例

$\int_{- 2}^{1} (x + 1) \sqrt{x + 3} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ と $d v = \sqrt{x + 3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x + 1) (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{- 2}^{1} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

$u = x + 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u = x + 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 2 + 3$

ステップ 4.3

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 4.4

$u = x + 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 3$

ステップ 4.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ および $- 2$ で $(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 6.2

$4$ および $1$ で $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ の値を求めます。

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$2 \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.5.2

式を書き換えます。

$2 \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.6

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \frac{2 \cdot 8}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.7

$2$ に $8$ をかけます。

$2 (\frac{16}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.8

$2$ と $\frac{16}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.9

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{32}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.10

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{32}{3} - - 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.12

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.13

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.14

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{32}{3} + 1 (\frac{2}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.15

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{32 + 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.17

$32$ と $2$ をたし算します。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.18

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.19

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.20

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.20.1

共通因数を約分します。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.20.2

式を書き換えます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.21

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.22

$\frac{2}{5}$ と $32$ をまとめます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.23

$2$ に $32$ をかけます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.24

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

ステップ 6.3.25

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

ステップ 6.3.26

公分母の分子をまとめます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

ステップ 6.3.27

$64$ から $2$ を引きます。

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

ステップ 6.3.28

$\frac{62}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{34}{3} - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

ステップ 6.3.29

$62$ に $2$ をかけます。

$\frac{34}{3} - \frac{124}{5 \cdot 3}$

ステップ 6.3.30

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{34}{3} - \frac{124}{15}$

ステップ 6.3.31

$\frac{34}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{34}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{124}{15}$

ステップ 6.3.32

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.32.1

$\frac{34}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{34 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{124}{15}$

ステップ 6.3.32.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{34 \cdot 5}{15} - \frac{124}{15}$

ステップ 6.3.33

公分母の分子をまとめます。

$\frac{34 \cdot 5 - 124}{15}$

ステップ 6.3.34

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.34.1

$34$ に $5$ をかけます。

$\frac{170 - 124}{15}$

ステップ 6.3.34.2

$170$ から $124$ を引きます。

$\frac{46}{15}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{46}{15}$

10進法形式：

$3.0\overline{6}$

帯分数形：

$3 \frac{1}{15}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例