微分積分例

$y = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

${(\sin^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4.2

$\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 3.4.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ を $\sin^{3} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.5.2

$- 1 \sin^{3} (x)$ を $- \sin^{3} (x)$ に書き換えます。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.7.2

$\sin (x)$ を $- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.2.1

$\sin (x)$ を $- \sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.7.2.2

$\sin (x)$ を $- 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.7.2.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8

共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

$\sin (x)$ を $\sin^{4} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.9

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.11

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.14

簡約します。

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ステップ 3.14.1

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.14.2

$- 1$ を $- 2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.14.3

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.14.4

$- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ を $- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.14.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

微分積分 例

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