微分積分例

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

ステップ 1

${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ を $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.4

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.4.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.5

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.5.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

ステップ 3.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

ステップ 3.1.7

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 3.1.7.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

ステップ 3.1.7.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

ステップ 3.1.8

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

ステップ 3.2

$4 x y^{3}$ と $4 y^{3} x$ をたし算します。

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ステップ 3.2.1

$y^{3}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

ステップ 3.2.2

$4 x y^{3}$ と $4 x y^{3}$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

ステップ 5

総和則では、 $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ です。

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 6

$y^{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y^{4}$ の微分係数は $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 8

$2$ を $y^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 9

$8 y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x y^{3}$ の微分係数は $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 11

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

ステップ 12

$16 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

ステップ 13

$2 y^{4} x + 8 y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

ステップ 14.2

項をまとめます。

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ステップ 14.2.1

$2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

ステップ 14.2.2

$y^{4}$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

ステップ 14.2.3

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

ステップ 14.2.4

$2$ を $y^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

ステップ 14.2.5

$8$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

ステップ 14.2.6

$\frac{8}{5}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$

微分積分 例

微分積分例