微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (e^{x} + x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 3.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + x$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $e^{x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.2

$e^{x} + 1$ に $\frac{1}{e^{x} + x}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

ステップ 4.1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$e^{\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

ステップ 4.1.2.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

ステップ 4.1.2.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 4.1.3.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 4.1.3.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{\frac{\infty}{\infty + \infty}}$

ステップ 4.1.3.4

無限大プラス無限大は無限大です。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

ステップ 4.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

ステップ 4.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

ステップ 4.3.5

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

ステップ 4.3.6

総和則では、 $e^{x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 4.3.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 4.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

ステップ 5.1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 5.1.3.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 5.1.3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\infty}{\infty + 1}}$

ステップ 5.1.3.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 5.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

ステップ 5.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

ステップ 5.3.3

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

ステップ 5.3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

ステップ 5.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}}$

ステップ 5.3.6

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

ステップ 5.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{1}$

ステップ 7

簡約します。

$e$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e$

10進法形式：

$2.71828182 \dots$

微分積分 例

微分積分例