微分積分例

$x = \sqrt{y} + \sqrt[3]{y}$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{y}$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.3.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y'$

ステップ 4.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

ステップ 4.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 4.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 4.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y'$

ステップ 4.3.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y'$

ステップ 4.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y'$

ステップ 4.3.8

$\frac{1}{3}$ と $y^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y'$

ステップ 4.3.9

$\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

ステップ 4.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ として書き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$

ステップ 6.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$

ステップ 6.2.2

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $2, 3, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 6.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 6.2.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 6.2.5

$3$ には、 $1$ と $3$ 以外に因数がないため。

$3$ は素数です

ステップ 6.2.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 6.2.7

$2, 3, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 3$

ステップ 6.2.8

$2$ に $3$ をかけます。

$6$

ステップ 6.2.9

$y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.2.10

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $6$ に変数部分を掛けたものです。

$6 y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.3

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ の各項に $6 y^{\frac{2}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ の各項に $6 y^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$3 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.3

$3$ と $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.4

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.4.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 6 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.6.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.7

$2$ と $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.8

$y^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.8.1

共通因数を約分します。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.8.2

式を書き換えます。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$6 y^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.4

方程式を解きます。

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ステップ 6.4.1

$y'$ を $3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y'$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1.1

$y'$ を $3 y' y^{\frac{1}{6}}$ で因数分解します。

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.4.1.2

$y'$ を $2 y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2 = 6 y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.4.1.3

$y'$ を $y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2$ で因数分解します。

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.4.2

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ の各項を $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ の各項を $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

ステップ 6.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

微分積分 例

微分積分例