微分積分例

$\int t^{2} (\sqrt[3]{t} + \sqrt{t} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{t}$ を $t^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + \sqrt{t} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}}) d t$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int t^{2} (t^{\frac{1}{3}} + t^{\frac{1}{2}}) + t^{2} (- t^{- \frac{1}{2}}) d t$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int t^{2} t^{\frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} + t^{2} (- t^{- \frac{1}{2}}) d t$

ステップ 3.3

$t^{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int t^{2} t^{\frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int t^{2 + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.5

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int t^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.6

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\int t^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\int t^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\int t^{\frac{6 + 1}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.8.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2} t^{\frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2 + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.10

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.11

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.12

公分母の分子をまとめます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.13

分子を簡約します。

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ステップ 3.13.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.13.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - 1 t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.14

負をくくり出します。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - (t^{2} t^{- \frac{1}{2}}) d t$

ステップ 3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.16

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.17

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 3.18

公分母の分子をまとめます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

ステップ 3.19

分子を簡約します。

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ステップ 3.19.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

ステップ 3.19.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int t^{\frac{7}{3}} + t^{\frac{5}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int t^{\frac{7}{3}} d t + \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 5

べき乗則では、 $t^{\frac{7}{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ です。

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 6

べき乗則では、 $t^{\frac{5}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ です。

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 7

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - \int t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 8

べき乗則では、 $t^{\frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{2}{5}$ と $t^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例