微分積分例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{3} + 5 x}{4 x - 6}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

ステップ 4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

ステップ 6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

ステップ 7

$x$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 8.3

$x$ を $\frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{1}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{8} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.4

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.5

$\frac{5}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.1.6.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + 5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.8

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.8.1

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{1 + 20}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.1.8.2

$1$ と $20$ をたし算します。

$\frac{\frac{21}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{21}{8}}{2 (2) \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{21}{8}}{2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 1 \cdot 6}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 6}$

ステップ 9.2.3

$2$ から $6$ を引きます。

$\frac{\frac{21}{8}}{- 4}$

ステップ 9.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{21}{8} \cdot \frac{1}{- 4}$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$

ステップ 9.5

$\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$ を掛けます。

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ステップ 9.5.1

$\frac{21}{8}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{21}{8 \cdot 4}$

ステップ 9.5.2

$8$ に $4$ をかけます。

$- \frac{21}{32}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{21}{32}$

10進法形式：

$- 0.65625$

微分積分 例

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