微分積分例

$y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (1 + x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

ステップ 3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (1 + x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + x$ とします。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6

微分します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{1}{1 + x}$ と $x$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \cdot 1 - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.6

$\frac{x}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.7

$\frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ に $\frac{1 + x}{1 + x}$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

ステップ 3.8

項を簡約します。

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ステップ 3.8.1

まとめる。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) (\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.8.2

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.8.3

$1 + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.3.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.8.3.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \cdot 1)}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.10

分数をまとめます。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.10.2

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}$ と $\frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{(1 + x) x^{2}}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + 1 (- \ln (1 + x)) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2.1.2

$- \ln (1 + x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) - x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- \ln (1 + x)) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2.3

簡約します。

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ステップ 3.11.2.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.2.4

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.3

項をまとめます。

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ステップ 3.11.3.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.11.3.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.11.3.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.11.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1} x^{2}}$

ステップ 3.11.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1 + 2}}$

ステップ 3.11.3.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{3}}$

ステップ 3.11.4

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

微分積分 例

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