微分積分例

$3 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 2 x + 15$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + 15)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$6 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$6 x + 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$6 x + 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$6 x + 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 x + 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

ステップ 2.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$6 x + 4 (x y' + y) + 4 y y'$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$6 x + 4 (x y') + 4 y + 4 y y'$

ステップ 2.5.2

不要な括弧を削除します。

$6 x + 4 x y' + 4 y + 4 y y'$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$4 x y' + 4 y y' + 6 x + 4 y$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [15]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $15$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 3.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 x y' + 4 y y' + 6 x + 4 y = 2$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $6 x$ を引きます。

$4 x y' + 4 y y' + 4 y = 2 - 6 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$4 x y' + 4 y y' = 2 - 6 x - 4 y$

ステップ 5.2

$4 y'$ を $4 x y' + 4 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 y'$ を $4 x y'$ で因数分解します。

$4 y' x + 4 y y' = 2 - 6 x - 4 y$

ステップ 5.2.2

$4 y'$ を $4 y y'$ で因数分解します。

$4 y' x + 4 y' y = 2 - 6 x - 4 y$

ステップ 5.2.3

$4 y'$ を $4 y' x + 4 y' y$ で因数分解します。

$4 y' (x + y) = 2 - 6 x - 4 y$

ステップ 5.3

$4 y' (x + y) = 2 - 6 x - 4 y$ の各項を $4 (x + y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4 y' (x + y) = 2 - 6 x - 4 y$ の各項を $4 (x + y)$ で割ります。

$\frac{4 y' (x + y)}{4 (x + y)} = \frac{2}{4 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y' (x + y)}{4 (x + y)} = \frac{2}{4 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x + y)}{x + y} = \frac{2}{4 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.2.2

$x + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + y)}{x + y} = \frac{2}{4 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2}{4 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (1)}{4 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.2.1

$2$ を $4 (x + y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (1)}{2 (2 (x + y))} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (x + y))} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} + \frac{- 6 x}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

$- 6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} + \frac{2 (- 3 x)}{4 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.2.1

$2$ を $4 (x + y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2 (x + y))} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2 (x + y))} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} + \frac{- 3 x}{2 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{- 4 y}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.4

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.4.1

$4$ を $- 4 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.4.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{- y}{x + y}$

ステップ 5.3.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{3 x}{2 (x + y)} - \frac{y}{x + y}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{y}{x + y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (x + y)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{y}{x + y}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y' = - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{y \cdot 2}{(x + y) \cdot 2}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(x + y) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{1}{2 (x + y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{3 x}{2 (x + y)} + \frac{1 - y \cdot 2}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 3 x + 1 - y \cdot 2}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y' = \frac{- 3 x + 1 - 2 y}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.7

$- 1$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x) + 1 - 2 y}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (3 x) - 1 (- 1) - 2 y}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.9

$- 1$ を $- (3 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x - 1) - 2 y}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.10

$- 1$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x - 1) - (2 y)}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.11

$- 1$ を $- (3 x - 1) - (2 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x - 1 + 2 y)}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.12.1

$- (3 x - 1 + 2 y)$ を $- 1 (3 x - 1 + 2 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x - 1 + 2 y)}{2 (x + y)}$

ステップ 5.3.3.12.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x - 1 + 2 y}{2 (x + y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x - 1 + 2 y}{2 (x + y)}$

微分積分 例

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