微分積分例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$ を $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.1.2

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.1.3

指数 $\frac{x}{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{\frac{x}{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

ステップ 2.3.10

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

ステップ 2.3.10.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

ステップ 2.3.10.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{2}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

ステップ 2.3.14

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.7.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 2.8

$\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 2.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.9.1

$\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{x}}$

ステップ 2.9.2

$\sqrt{x}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

ステップ 2.9.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

ステップ 2.9.4

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

ステップ 2.9.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.9.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 2.9.7

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 2.9.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.9.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.9.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.9.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.7.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.9.7.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{1}}$

ステップ 2.9.7.5

簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$

ステップ 2.10

$\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 3

約分します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 3.2

$x$ を $x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 3.3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x e^{\frac{x}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (e^{\frac{x}{2}})}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ は $0$ に近づきます。

$0$

微分積分 例

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